Tópicos sobre as Matemáticas

Hoxe tiveron o primeiro exame do curso os meus alumnos de 2º de E.S.O. Ata o momento só traballamos a divisibilidade, así que o exame estaba cheo de cálculos mecánicos de divisores, M.C.D. e m.c.m., descomposición en factores primos... Cando digo mecánico quero dicir que nos exercicios os alumnos teñen que desenvolver un algoritmo traballado na clase, que desde un número ou conxunto de números leva de xeito necesario a outro número ou números. Por exemplo:

Descompón en factores primos o número 3630.

A resposta é

a onde chegamos despois de aplicar o proceso tradicional:

Aburrido, non si? O único que pode variar minimamente este cálculo, e facelo máis rapidamente, é decatarse de que podemos obviar o 0 final, descompoñer 363 en factores e despois recompoñer a descomposición de 3630 a partir das de 363 e 10. Pero aínda isto xa foi traballado na clase, así que non require un pensamento orixinal.

Así que neste exame aproveitei a sección final de problemas para introducir algunha tarefa non totalmente predeterminada e mecánica. En concreto utilicei un problema que escribira hai anos, (creo que cando estaba no I.E.S. María Casares de Oleiros, e a partir dun problema dunha olimpíada que xa non lembro), e que xa usei en varias ocasións. Para isto é útil que os alumnos aínda non saiban que escribo nun blog e que gardo na rede a colección de actividades e exames doutros anos.

Vexamos:

"Quedei durmido na clase de Matemáticas, de tal xeito que só puiden ver os dous primeiros díxitos dun número de catro cifras:

34??

Un compañeiro díxome que o número é divisible entre 9 e entre 11. Podes axudarme a atopalo?"

Nada espectacular, pero abonda para escapar dos cálculos que soan a xa vistos.

E como resolvemos este exercicio?

Pois temos varias posibilidades, con distintos e moi marcados sabores.

• Forza bruta: Temos 100 posibilidades en total para os dous díxitos descoñecidos. Se tes tempo nun exame, podes tentalo.
• Forza non tan bruta: podemos tentar xogar primeiro coa divisibilidade entre 11 e despois restrinxir coa divisibilidade entre 9. Obteríamos en primeiro lugar como opcións 3410, 3421, 3432, 3443, 3454, 3465, 3476, 3487, 3498, das que só serve 3465.
• Álxebra: neste curso é case imposible que a algún alumno se lle ocorra isto, debido a que practicamente acaban de comezar a traballar a linguaxe alxébrica. A estas alturas da miña vida docente, tento evitar na medida do posible este enfoque. Pero aí está:

34ab ten que ser múltiplo de 9, polo que 3+4+a+b é múltiplo de 9,

así que 7+a+b ten que ser 9 ou 18 (porque a e b son como mínimo 0 e como moito 9)

34ab tamén ten que ser múltiplo de 11, así que 3+a-4-b ten que ser

múltiplo de 11, polo que a-b-1 só pode valer 0, ou mellor, a = b + 1

Xuntando as dúas condicións, obtemos que b ten que ser 5 e a, 6.

• m.c.m.: o meu xeito preferido de resolver este problema. Necesitas dominar unha propiedade do m.c.m. para poder chegar a atopar este método. Se 34?? é múltiplo de 9 e 11, ten que ser múltiplo de 99. Agora podemos facer dúas cousas: ou ben forza bruta ou ben ver canto lle falta a 3400 para ser múltiplo de 99.

Polo que só falta 99 - 34 = 65 para atopar un múltiplo de 99.

Aínda que o problema non sexa alucinante (nin pretende selo), non credes que non sempre hai un único xeito de resolver os problemas?

Por certo, movéndome pola aula durante o exame puiden ver que hai solucións correctas.