O elemental non é nada elemental

O artigo de Hung-Hsi Wu What's sophisticated about Elementary Mathematics apunta a unha das verdades moitas veces obviadas do ensino das Matemáticas: aínda o elemental require dunha comprensión profunda. Un dos exemplos que utiliza Wu é o da división de fraccións (tratado noutros artigos/libros do mesmo autor). Nel comenta que as dificultades coas fraccións no ensino medio proveñen parcialmente de que o modelo estándar para o concepto de fracción, a tarta dividida en anacos iguais, resulta forzado para utilizar en fraccións maiores ca 1 e aínda peor para atacar problemas de velocidades ou razóns.

E todo isto a conto das fraccións, tema que calquera persoa educada na época da EXB/BUP (que non saiba abondo de Matemáticas) pensará que é elemental.

Pois non é complicado atopar outros exemplos de cuestións aparentemente inocentes ou obvias que poden levarnos a preguntas nada sinxelas de contestar.

O primeiro exemplo tomareino da historia da Xeometría, e aínda que procede dos Elementos de Euclides, non é o arquicoñecido postulado das paralelas. Veume á memoria revisando os Fundamentos da Xeometría de David Hilbert, ao ver os axiomas de ordenación, mais a primeira vez que dei con el foi no fabuloso The Mathematical Experience de Davis e Hersh:

Imaxinemos que A, B, C e D son catro puntos dunha liña recta. Supoñamos que B está entre A e C, e que C está entre B e D. Que podemos deducir sobre A, B e D?

Obvio, non? Forzosamente B ten que estar entre A e D. O que resulta interesante é que esta obviedade non pode ser demostrada cos 5 postulados de Euclides. E non é unha mera curiosidade, isto deu lugar a que Hilbert, apoiándose no traballo de Moritz Pasch, incorporase novos axiomas para apuntalar a Xeometría Euclidiana.

Mais non é necesario remexer na historia para atopar exemplos de cuestións elementais que pasamos por alto e merecen certa reflexión pois non son obvios, polo menos para os alumnos. Vexamos dous, un aritmético e outro xeométrico:

Por que é certa a seguinte igualdade e a súa evidente xeneralización?

$$5+5+5=3+3+3+3+3$$

Realmente creo que esta pregunta é susceptible de ser lanzada na ESO sen preámbulos para crear discusión. Vaiamos ao outro exemplo.

Todos os alumnos aprenden en Primaria que a área dun triángulo é a metade do produto da lonxitude da base pola altura correspondente. Tamén é probable que lles expliquen a fórmula a partir da área do paralelogramo. A cuestión obvia é:

Por que o valor da fórmula non varía se collemos outro dos lados como base, e por tanto cambiamos tamén a altura?

     

Só hai que dubidar das afirmacións que aparecen sen explicación/demostración e atoparemos feixes de cuestións por aclarar.