3.12.16

Por que resultan tan complicados os logaritmos?


Boromir tamén lle preguntou ao seu profesor cando ía usar os logaritmos

Lamento confesar que, aínda que coido que sei por que resultan difíciles en 4º de ESO (e tamén en bacharelato), non teño ningunha idea que vaia solucionar este problema, alén de simplemente non traballalos ao nivel axeitado(estratexia habitual en certos ámbitos: se é difícil, omíteo...)

Nos anos que levo traballando non adoptei conscientemente moitas crenzas, porén podo recoñecer as seguintes:
  1. Calquera definición matemática que introduza unha frase subordinada resulta difícil.
  2. Calquera notación na que apareza máis dunha variable resulta difícil.
  3. Calquera concepto que utilice conceptos anteriores que non quedasen transparentes resulta difícil
 Agora observade o deostado logaritmo:

$\log_a b$ é o expoñente ao que hai que elevar a base a para obter o número b

É dicir: 
$\log_a b=n \iff a^n=b $

Velaí:
  1. Frase subordinada $\checkmark$
  2. Máis dunha variable $\checkmark$
  3. Conceptos anteriores escuros $\checkmark$
Queda claro que ten que resultar difícil, non si?

A secuencia típica inspirada pola estrutura matemática do concepto leva a que, despois de definir o concepto e ver exemplos, ás veces certamente complicados como
$$\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{81}$$
, vexamos as propiedades básicas, que son as que fan interesante o logaritmo, pero que se converten nunha táboa de receitas a seguir en cálculos intricados.

Inciso: que fai realmente interesante ao logaritmo? Na miña opinión, dúas cousas: o seu uso imprescindible posterior dentro das propias Matemáticas e a súa aparición noutras ciencias. O problema coas aplicacións(de novo na miña opinión) radica en que a modelización das situacións é demasiado complicada e que o seu ámbito natural é o das relacións funcionais, xeralmente posterior no curso,e para máis inri, adoitan usar a función exponencial de base o esotérico número e.

Volvendo ao tema, un dos exercicios puramente técnicos que poño habitualmente nas clases de 4º é o seguinte:
  1. Calcula $\log_a a^x$
  2. Calcula $a^{log_a x}$
Mentres que o primeiro é inmediato para a maioría dos alumnos, aínda que pola razón equivocada, o segundo é para moitos virtualmente imposible de desenlear, nin cambiando as letras por números(truco que funciona parcialmente).

Curiosamente, a mellor estratexia que atopei para facer ver o segundo coincide coa que utilizaba o coñecido profesor Ricardo Moreno segundo expón Cibrán en Problemas de Alcuíno: repetir o dito.

Nas clases insisto moito en que diante do cálculo dun logaritmo sempre temos que facernos unha pregunta que comeza por "a canto hai que elevar a base para obter o número?" (ante calquera cálculo hai que facerse unha pregunta, tampouco é a gran cousa). Na primeira das cuestións que propoño, os alumnos xa teñen esquecido o concepto e argallan coa importante propiedade de que os expoñentes "saen fóra multiplicando". Pero facerse a pregunta, en voz alta mellor, é esclarecedor: "A canto hai que elevar a para obter $a^n$?"(facepalm dos alumnos). Unha vez entendido isto, vén a repetición de preguntas para a segunda:

Profesor: "Quen/que é $log_a x$?"
CHORUS: "O número ao que hai que elevar a para obter x" (a resposta comeza sendo tímida)
Profesor: "Quen hai que elevar?"
CHORUS: "a"
Profesor: "Ou sexa, que se elevamos a a ese expoñente, obtemos...?"
CHORUS: "x"
Profesor: "..."
Repeat

A receita consiste en facer varias iteracións deste proceso, de tal xeito que os alumnos van caendo do burro(os que teñan a cabeza posta na clase, claro). E como apuntei antes, axuda que eles mesmos se fagan a pregunta en voz alta.


É incrible o pouco que sei do traballo que fago, e dáme que non son o único amateur no choio.

20.11.16

Cousas que só atoparás nun libro de texto-3


A tradición deste blogue obriga a que o título desta entrada continúe a serie "Cousas que só atoparás nun libro de texto" (previously 1 e 2), pero o título alternativo "Por que coido que o meu libro de texto me odia?" tamén lle acaía, veredes a razón. Pero antes, algo de contexto.

Despois de 6 anos no mesmo centro, este curso estou de volta no meu instituto de toda a vida: está no barrio no que nacín, estudei nel con amigos que sigo tendo con algún profesor que aínda traballa aló,e por se fose pouco, é o centro no que fixen o ano de prácticas cando aprobei a oposición. Ademais de ser o primeiro curso nun centro "novo", é tamén a miña primeira vez nun equipo directivo, pois os únicos cargos que tivera foran os de titor e a coordinación Abalar/TIC. Como ocupo a xefatura de estudos, en troques de dar clase, teño unha chea de horas para as funcións específicas do cargo (imaxino que queda claro ao ler este blogue que esta situación non é voluntaria). En conclusión: só dou unha materia nun grupo, Matemáticas orientadas ás ensinanzas académicas de 4º de ESO. Os alumnos desta materia teñen un libro de texto da editorial Santillana prescrito antes de chegar eu. Xa teño usado libros desta editorial, neste propio centro e no da Rúa no que estiven dous cursos hai oito anos. Teño memorias pouco nítidas dos libros que usei en Oleiros, lembro algún de Xerais e de Algaida(este unha edición especial de Anaya, aquel a tradución ao galego); en Cedeira tiñamos libros de Anaya ata o último ano que cambiamos a SM na ESO, non así no Bacharelato porque a editorial non tiña libros de Matemáticas en galego e aló tiñamos Matemáticas I na nosa lingua. O rango da calidade dos libros que coñezo vai desde o pésimo ata o regular, sendo o deste ano malo con avaricia. Axiña estaredes de acordo comigo.

Comecemos vendo como un libro de texto pode boicotear a estratexia do profesor para que os alumnos entendan un concepto:
Receitas, receitas everywhere

Continuemos cun exemplo no que comprobamos que o autor do libro utiliza certas calculadoras Casio que implementan unha xerarquía de operacións modificada:

Falta algo no c e d do 102?


Isto require explicación, supoño: nas calculadoras científicas hai un botón rotulado EXP(nas últimas ·10^x ou algo semellante) que serve para adosarlle á mantisa a súa orde de magnitude. Sucede que se na calculadora facemos 8,3 EXP 6 : 5,37 EXP 2, o resultado é o axeitado para dividir eses dous números en notación científica, e obtés algo de orde 10^4. Pero se un é rigoroso, o apartado c dá un resultado de orde 10^8.

Prosigamos cun malabarismo na marxe(menos mal que só lemos os que deixa Fermat):

Recuerda?

Agora, na unidade de Álxebra, vén algo que tampouco axuda moito:

O feito de que os tenistas falen en Comic Sans só incrementa o pánico

Fagamos un inciso para amosar unha figura absurda no medio duns exercicios mecánicos:

Figura ilustrativa dos métodos utilizados(ains)

 E finalicemos coa voráxine final, na folla dobre á que, imaxino, menos caso se lle fará nas aulas:

 
En la vida cotidiana...
Primeiro, meten moito texto nun exercicio que se pode facer moito antes deste curso(lembremos:Matemáticas Académicas de 4º de ESO), para, ademais, introducir dun xeito puramente artificial o contido máis básico da unidade(xa nin considero como erro que o exercicio 94 só sirva para valores de x maiores que -2)



En que anel do Inferno de Dante estaban os autores de libros de texto?


E, finalmente, a apoteose: como proxecto de traballo cooperativo non deberon de dar atopado nada relacionado coa Álxebra, así que chantaron o primeiro que lles veu á cabeza. Embaixo, unha actividade PISA que non se pode considerar un problema matemático, pois a única dificultade que tería xa está resolta no enunciado.

Dáme que esta non vai ser a derradeira entrada dedicada a este libro de texto...

Editado ás 12:38: Esquecera que Dan Meyer mantén un xogo os sábados con exemplos de pseudocontexto atopados en libros de texto. Ide aló se queredes botar unhas risas: Pseudocontext Saturdays

23.10.16

Unha adiviña cun chisco de movemento

Que está a suceder aquí?




Agardando que algún día teña máis tempo para a docencia, deixo esta pequena adiviña como primeira idea cara unha versión 3D do xogo Z-Rox do que falei brevemente na xornada de Matemática Recreativa de Agapema do ano pasado.

12.10.16

Avaliar é sinxelo, non si?


O bloque de contidos que comeza o curriculum de Matemáticas na ESO é o de Números e Álxebra. Aínda que cada novo curso incrementa o nivel de profundidade ao introducir novos conxuntos numéricos, a sensación nos alumnos é de que están a dar outra vez o mesmo.
Observando os estándares de aprendizaxe dos distintos cursos:
  • En 1º e 2º:
MAB2.1.1. Identifica os tipos de números (naturais, enteiros, fraccionarios e decimais) e utilízaos para representar, ordenar e interpretar axeitadamente a información cuantitativa.
  • En Matemáticas orientadas ás ensinanzas académicas de 3º:
MACB2.1.1. Recoñece distintos tipos de números (naturais, enteiros e racionais), indica o criterio utilizado para a súa distinción e utilízaos para representar e interpretar adecuadamente información cuantitativa.
  • En Matemáticas orientadas ás ensinanzas aplicadas de 3º, por contra, non hai un estándar de "recoñecemento":
MAPB2.1.2. Distingue, ao achar o decimal equivalente a unha fracción, entre decimais finitos e decimais infinitos periódicos, e indica, nese caso, o grupo de decimais que se repiten ou forman período.
  • Nas dúas materias de 4º:
MACB2.1.1. Recoñece os tipos de números reais (naturais, enteiros, racionais e irracionais), indicando o criterio seguido, e utilízaos para representar e interpretar axeitadamente información cuantitativa.
(o nome do estándar cambia a MAPB2.1.1 na outra materia, detalle fundamental...)

Ademais, o carácter fortemente abstracto dos números irracionais e reais fai que sexa case imposible a comprensión dos conceptos no momento no que se traballan. Isto provoca, por exemplo, que tratemos os números irracionais dun xeito pouco rigoroso, identificándoos de xeito máxico cos números decimais infinitos e non periódicos. Tamén, máis adiante, leva a que o concepto de continuidade estea apoiado soamente en
cuestións intuitivas, pois as propiedades topolóxicas da recta real mantéñense ocultas. Como xa compartín a visión do matemático de Berkeley Hung-Hsi Wu sobre estes aspectos e outros relacionados do ensino das Matemáticas nos institutos noutras entradas, remítovos a elas:

Pois ben, o habitual é que os profesores avaliemos este recoñecemento dos tipos de números mediante un exercicio máis ou menos semellante a este que puxen eu a semana pasada en 4º:

Clasifica os seguintes oito números segundo os conxuntos numéricos aos que pertenzan:
$$\sqrt{1000}, \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}, 3+\sqrt{2}, \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$$
$$0'313113111 \dots, 4'0\overline{72}, -(\sqrt{7})^4, |-3^2|$$

Obviando que este exercicio non está a avaliar unicamente o recoñecemento dos números, senón tamén o cálculo elemental, o que vai interferir co anterior(isto hai que telo en conta ao avaliar), que opcións temos os profesores ao calificar as respostas dos alumnos? E previamente a iso: que opcións temos respecto á estrutura da resposta?

Estas preguntas, sobre todo a segunda, só agroman cando un deseña as probas de avaliación. A priori debería ser sinxelo saber se un alumno recoñece os distintos tipos de números, non si?
Observade dous marcos posibles para a resposta:

Dáslles xa ti os conxuntos
Non lles dás nada máis que os números orixinais




Decatádesvos dos distintos resultados que podería obter un mesmo alumno segundo o marco utilizado?
Aínda máis: supoñamos que este exercicio supuxese un punto nunha proba, como valoraríades as respostas parciais? No 1º marco, se un alumno recoñece todos os naturais mais non os inclúe despois como enteiros ou racionais(o de que todos os números que coñecen son reais si é sinxelo de lembrar), como o calificaríades? No 2º marco, se un alumno clasifica correctamente os números naturais mais tamén inclúe nos naturais incorrectamente un número fraccionario e un (gasp!) irracional, daríades por boa a primeira clasificación?

Sei ben que esta avaliación é moi mellorable e que no tocante á clasificación de números, unha parola de 2 minutos cun alumno xa abonda para determinar o seu coñecemento(omitindo a parte que comentei arriba que interfire, pois o cálculo supón unha sobrecarga da memoria operativa para que se faga sen lapis). Mais coido que, co tempo que temos nas nosas mans e os alumnos nas aulas, a avaliación oral é case impracticable.

Pensastes algunha vez neste tipo de cuestións? Agardo que non sexa outra teima persoal máis...

26.9.16

De tres en tres


Revisando alertas de google no gmail pasei por riba dun problema do que eliminei a fonte. O voso traballo vai ter dúas partes: a primeira saber cal era a pregunta e a segunda, atopar unha solución mellor.

O primeiro:

Cal é a pregunta se

$$a_n=\frac{4 Re(\omega^n)-1}{3}$$

onde $\omega$ é unha raíz cúbica imaxinaria da unidade (i.e., $\omega^3=1, \omega \neq 1$)

é a solución?

A segunda:

Dás atopado unha solución máis sinxela?