22.4.18

Solución a Un rectángulo e tres inradios


Nos comentarios á entrada Un rectángulo e tres inradios contestei que a demostración que pensei cando escribín esa entrada era ben fea. Tiven un anaco e deille outra volta, e cheguei a unha proba sinxela e rápida.
O esencial da demostración é unha expresión alternativa para o inradio dun triángulo rectángulo, obtida a partir de $sr=\Delta$ e o ubicuo Teorema de Pitágoras. Vexámolo primeiro:


   
$$sr=\Delta \rightarrow \frac{a+b+c}{2} \cdot r=\frac{bc}{2} \rightarrow r= \frac{bc}{a+b+c}$$
$$r= \frac{bc(b+c-a)}{(b+c+a)(b+c-a)} \rightarrow r= \frac{bc(b+c-a)}{(b+c)^2-a^2}$$
$$r=\frac{bc(b+c-a)}{b^2+2bc+c^2-a^2}=\frac{bc(b+c-a)}{2bc}\rightarrow r=\frac{b+c-a}{2}$$
Esta última expresión vai facilitar o choio. Vaiamos agora ao problema orixinal:

   

$$r_1+r_2+r_3=\frac{AH+DH-AD}{2}+\frac{CH+DH-CD}{2}+\frac{AB+BC-AC}{2}=$$
$$\frac{AH+DH-AD+CH+DH-CD+AB+BC-AC}{2}=\frac{2DH}{2}=DH$$
onde utilizamos que $AH+CH=AC$, $AD=BC$ e $CD=AB$

Aínda que non o lembro, aposto que esta foi a demostración que fixen a primeira vez que vira o problema, e non a zarangallada alxébrica que montei desta. 

14.4.18

Estafar na estafeta



Lendo a Peter Winkler, autor dos magníficos Mathematical Puzzles: a connoisseur's collection e Mathematical Mindbenders, atopei este problema:

En certas estacións de ferrocarril e oficinas de correos do mundo, o coste de enviar unha caixa (paralelepípedos rectangulares) vén determinado pola suma das súas dimensións, é dicir, a suma do seu longo, o seu largo e a súa altura. Esta suma de dimensións denomínase o tamaño da caixa.
A cuestión é obvia para todos os que teñan unha mente para o delito: é posible hackear o sistema, introducindo unha caixa dentro dunha caixa máis barata? É dicir, pode existir un ortoedro cun certo tamaño que teña un ortoedro de maior tamaño dentro?

Este curioso problema, que pode ser temperado se o levamos a dimensión 2(cun rectángulo dentro doutro rectángulo), apareceu no usualmente (moi) difícil Tournament of the Town, no que achei outros problemas para cavilar recentemente. Outro día comparto un da categoría "problemas de Álxebra sen ecuacións", ben fermoso.

28.3.18

Un rectángulo e tres inradios



Revisando os escasos números da publicación Arbelos, de Samuel L. Greitzer(ben coñecido pola súa obra conxunta con Coxeter, Geometry Revisited), dei de novo cun vello resultado elemental:

   

Sendo ABCD un rectángulo, amosar que
$$r_1+r_2+r_3=DH$$

Como non é a primeira vez que sucede, pido desculpas se xa o compartín con anterioridade. Desde logo problemas relacionados co inradio dun triángulo rectángulo xa teño compartido.

18.3.18

Unha ecuación non polinómica



Estaba a revisar a fornada de competicións matemáticas de inverno, e dei cunha das miñas preferidas, o Torneo Harvard-MIT. Este torneo, do que xa falaría moitas veces(imaxino) ten dúas  instancias, unha en novembro en Harvard, e a outra en febreiro no MIT. Os dous torneos teñen certas diferenzas, por exemplo nas disciplinas que cobren, mais os dous teñen unha sección individual e unha sección por equipos. Na proba Xeral de novembro teño atopado problemas axeitados para facer pensar aos alumnos alén do habitual nas aulas, chegando ás veces a incluílos (fóra de cualificación) en exames. O ítem que traio hoxe apareceu na proba de Álxebra e Teoría de Números deste febreiro. Observade:


Atopa o único número real positivo que satisfai $$x^{2x^6}=3$$


Se eu dese clase en 1º de bacharelato este ano, seguramente introduciría esta inocente ecuación nalgún momento.

4.3.18

Solución da adiviña


Como ninguén contestou á adiviña proposta por acó, e non sei se por demasiado sinxela ou por demasiado difícil, vou compartir a solución.

Observade a imaxe coa súa lenda(e co título), que na adiviña eliminei para facela máis complicada:

   
A imaxe provén dun estudo sobre a dificultade das táboas de multiplicar no Reino Unido, de aí que vaia desde 1x1 ata 12x12. Atopeina nesta ligazón:

Aínda que non era a primeira vez que daba con esta historia e con esta imaxe ou unha semellante.  Por exemplo, comparade con esta en The Guardian.
O estudo analiza 60000 respostas a produtos aleatorios nunha app dos 232 alumnos da Escola de Caddington, en Bedfordshire. Como indica o título, na imaxe vemos, como nun mapa térmico, o índice de erro en cada un dos produtos das táboas do 1 ao 12. É interesante que a diagonal non sexa un eixe de simetría, é dicir, que haxa casos nos que o produto axb e o produto bxa presenten distintas dificultades. Preto do final achamos que 11x12 e 12x11, resultando difíciles os dous, non resultan igual de difíciles.

A imaxe suxire que o produto máis errado é 6x8(63% de erro), xunto con 8x6(60% de erro). Para min foi unha sorpresa, pois agardaría que houbese máis índice de fallo en cálculos con números maiores. Seguramente non con 11 ou 12, pois dou por feito que a dificultade esperada polos propios alumnos faría que se concentrasen máis en aprender a táboa do 12, e a do 11 porque é especialmente sinxela.

Se queredes saber máis sobre como recolleron os datos do estudo, ide a esta imaxe