26.8.17

Como sumar cunha parábola



Navegando ao chou na web da descontinua(?) web da Universidade de Cambridge Underground Mathematics atopei este feito, tan elemental que case dá vergonza recoñecer que non o coñecía xa.

Despois de ver esta entrada ide á de Underground Mathematics, que ten feixes de recursos interesantes. Pero antes, fedellade con este pequeno applet.

Do mesmo xeito que na entrada Como multiplicar cunha parábola, só tedes que introducir os números que queirades(case: restrinxidos ao intervalo [-10,10]) e ver como agroma a súa suma na construción.
Mentres que no applet da multiplicación, para multiplicar os números a e b había que introducir -a e b, aquí non hai que utilizar o oposto.

Analizando a elemental construción e como varía en función do tamaño relativo dos números, observamos, unha vez máis, como a álxebra pensa por nós en ocasións.



24.7.17

Problemas matemáticos da Lusofonía-3 RELOADED


Esta entrada é obrigada pois, para unha vez que comparto a solución dun problema, fun resolvelo mal. E non me decatei ata que Efe o apuntou nun comentario: x e y teñen que ser impares. Na miña solución non só non eran impares, senón que utilizaba potencias de dous(o colmo do non impar). Como a nobreza obriga, e tiven sorte axiña, veño escribir unha solución correcta(a saber).

Lembremos que o problema pedía demostrar que para calquera potencia de 2 con expoñente positivo, $2^n$, podíamos atopar x e y impares positivos tales que $$2^n=5xy-x^2-2y^2$$

Que fixen para subsanar o erro cometido? Seguir fedellando, número 1 no meu decálogo, como xa comentara.

Desta volta tentei atopar números impares para os primeiros casos, e tampouco foi moi difícil:
$$2^1=f(1,1)$$
$$2^2=f(3,1)$$
$$2^3=f(13,3)$$
$$2^4=f(59,13)$$

Despois de rematar a solución, atopei moitas parellas que non cumpren o patrón que se albisca nestas, supoño que tiven sorte.

Que se ve nas que puxen?
Obviamente, que a abscisa do par ordenado que representa a $2^n$ aparece como ordenada no par que representa a $2^{n+1}$. Para atopar a relación coa abscisa do par seguinte hai que ter algo de ollo, tampouco moito:
$$5 \cdot 1-2 \cdot 1=3$$
$$5 \cdot 3-2 \cdot 1=13$$
$$5 \cdot 13-2 \cdot 3=59 \dots $$

Para quen non o vise a simple vista, o coeficiente 5 vén da expresión alxébrica da función.

Xa tiña unha hipótese para traballar, só faltaba comprobala:
Se $(x,y)$ representa a $2^n$, entón $(5x-2y,x)$ representa a $2^{n+1}$

O difícil era chegar aí, o resto é Álxebra na peor das súas acepcións:

Demostración: Supoñamos que $2^n=5xy-x^2-2y^2$, e vexamos que sucede con $f(5x-2y,x)$

$$f(5x-2y,x)=5 \cdot(5x-2y) \cdot x-(5x-2y)^2-2x^2=$$
$$25x^2-10xy-25x^2+20xy-4y^2-2x^2$$
$$=10xy-2x^2-4y^2=2(5xy-x^2-2y^2)=2f(x,y)=2\cdot 2^n=2^{n+1}$$
,q.e.d.

E só falta axustar o detalle técnico que podería ter esquecido perfectamente: eses valores de x e y son impares?
Pois si, pois partindo dun par (x,y) onde x e y sexan impares, a transformación $5x-2y$ conserva a paridade. Como comezamos co par (1,1), todos os pares así obtidos cumprirán que as dúas coordenadas serán impares.


22.7.17

Problemas matemáticos da Lusofonía-3


Editado o 24/07/2017: Esta entrada non resolve o problema proposto, como ben apunta Efe nos comentarios. Na entrada seguinte aparece unha solución de verdade. Déixovos que atopedes vós o erro.


Da Olimpíada de Matemática da Comunidade de Países de Língua Portuguesa xa falei por acó, e tamén da ausencia dunha web en condicións para consultala. Por sorte o ano 2016 foi celebrada no Brasil, onde xa teñen unha infraestrutura formidable arredor das olimpíadas, envexa de moitos outros países.

6ª Olimpíada de Matemática da CPLP


Na olimpíada do 2016 houbo varios problemas interesantes, por exemplo o 4º, sobre unha competición de futebol, que non reproduzo por ter un aire semellante ao da entrada previa. Mais o problema no que reparei foi o último, o 6º, que trataba de números:

Considere as potências de 2 com expoente inteiro positivo, ou seja, os números da forma $2^n$ em que n é um inteiro positivo: 2,4,8,16,... Prove que toda potência de 2 com expoente inteiro positivo pode ser escrita na forma

$$5xy-x^2-2y^2$$

com x e y ímpares positivos.

Vou compartir a secuencia que me levou a resolver o problema, pero antes, para non subtraer a diversión de resolvelo aos amables lectores, velaquí unha adiviña sinxela. A ver se descubrides que cuestión matemática representa a seguinte imaxe minimalista:

A solución, nesta páxina, e o resto de obras de Crockett Johnson aquí

Onde estabamos? Ah, si, con

$$5xy-x^2-2y^2$$

Outra persoa con máis intuición ca min seguramente poderá ver xa con claridade o asunto. Como eu non teño tanta vista, cando tento resolver un problema destes o primeiro que fago é, vaia,... fedellar, termo non recollido literalmente nas recomendacións de Polya mais que recolle o seu espírito.

Neste caso fedellar significa probar con casos pequenos das potencias de 2 e ver se observamos un patrón:
A primeira sae rápido:
$$2^1=5 \cdot 1 \cdot1-1^2-2\cdot1^2$$
Para escribir menos LATEX, vou chamar
$$f(x,y)=5xy-x^2-2y^2$$
A segunda(xa coa nova notación), tamén:
$$2^2=f(2,1)$$
As sucesivas:
$$2^3=f(2,3)$$
$$2^4=f(3,5)$$

Chegado a este punto, que foi o que vin? Pois si, números de Fibonacci. Neste momento pensei que tiña solucionado o conto, pois xa ía elucubrando como obter a representación dunha potencia de 2 desde a representación da anterior, ou das dúas anteriores...
Se lembrades a sucesión de Fibonacci,
$$1,1,2,3,5,8,13,21,...$$
E comparades coas primeiras representacións que obtiven,
$$(1,1),(2,1),(2,3),(3,5),...$$
Parece razoable pensar que os pares van aparecendo de xeito consecutivo na sucesión de Fibonacci.
Pasei uns minutos dándolle voltas porque non vía a zoca que metera, ao crer que o patrón dos pares ordenados era
$$(F_{n},F_{n-1})\rightarrow (F_{n+1},F_{n})$$
Pero os pares non cumpren nin ese patrón nin nada semellante. Se avanzamos na sucesión, vemos que o par $(5,8)$ falla:
$$f(5,8)=47$$
$$f(8,5)=86$$
Se temos en conta que a paridade dos números de Fibonacci é impar-impar-par-impar-impar-par-... veremos que o par impar-par nunca vai funcionar  nesa orde, pois  f(impar,par) é claramente impar.

A sensación de que unha idea que un cre exitosa resulta un fracaso é tremenda, e moitas veces é aí cando se deixan de lados os problemas, polo menos a min xa me ten pasado un feixe de veces.

Que fixen ante este fracaso (parcial)? Seguir fedellando.

Entón, for no particular reason, escribín a función en forma matricial:
$$f(x,y)=\left( \begin{array}{ccc} x & y \end{array} \right)  \left( \begin{array}{ccc}
-1 & \frac{5}{2} \\
\frac{5}{2} & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y  \end{array} \right) $$

Tiven unha epifanía cando vin a matriz? Non. Aí quedou. A resolución de problemas non é como as TV movies, unha mágoa.

Mais, de súpeto, mirando para a expresión alxébrica $f(x,y)$ obviei as variables e fixeime só nos números, e vin...
$$5-1-2=2$$

O que provocou, agora si, a iluminación: se considero pares cos dous números iguais,obterei o dobre dun cadrado. Vedes por que isto é útil?
$$f(x,x)=5x \cdot x-x^2-2x^2=2x^2 $$
Collendo $x=2^n$, obtemos $f(2^n,2^n)=2(2^n)^2=2\cdot 2^{2n}=2^{2n+1}$

Que case, case, resolve o problema: xa o temos resolto para potencias impares de 2.

O que veu despois para resolver o caso de potencias pares, supoño que é inmediato, pero non sei como se me ocorreu:

Collendo pares ordenados nos que o primeiro número é o dobre do segundo, vemos o camiño:
$$f(2x,x)=5 \cdot 2x \cdot x-(2x)^2-2\cdot x^2=4x^2$$
Só temos que considerar $x=2^{n-1}$ para obter $f(2^n,2^{n-1})=4(2^{n-1})^2=(2^n)^2=2^{2n}$

E así representamos as potencias pares de 2. Xunto ao anterior, queda demostrado que todas as potencias de 2 de expoñente positivo poden ser escritas dese xeito, agás erratas. Se alguén atopa unha solución distinta, pode deixala nos comentarios.

16.7.17

Outro problema elemental e interesante


Remexendo polas páxinas de competicións dei na web da Olimpíada de Maio, e atopei esta fermosura de problema na proba de 2016:


Nunha competición deportiva na que se realizan varias probas, só participan os tres atletas A, B e C. En cada proba, o gañador recibe x puntos, o segundo y puntos e o terceiro z puntos. Non hai empates, e os números x, y, z son enteiros positivos que cumpren x>y>z.
Ao rematar a competición resulta que A acumulou 20 puntos, B acumulou 10 puntos e C acumulou 9 puntos. Sabemos que A foi segundo na proba de 100 metros. Determinar cal dos 3 atletas quedou segundo na proba de salto.



Coido que este problema cualifica dentro da categoría "faltan datos ou estou parvo?". Para sentirdes o momento de iluminación, non vos queda outra opción que poñervos a resolvelo. Ánimo.

2.7.17

Georg Mohr 2017


Agora que teño algo de tempo, estou a revisar ligazóns que deixara sen ler. Entre elas, a web dunha olimpíada matemática de instituto na que sempre atopo ideas interesantes, a danesa Georg Mohr.
Nun primeiro momento quedei prendado por varios problemas da 1ª rolda, probablemente pola miña tendencia a buscar cuestións arredor do comezo da Álxebra, en suspenso este ano por dar só 4º de ESO.

Observade uns poucos:

  • Na área dunha exposición de dimensións n x n metros, a audiencia é conducida por un camiño de ancho 1 metro desde a esquina A ata a esquina B. Cantos metros cadrados quedan dispoñibles para a exposición descontando a área do corredor?
 
O problema dá 5 opcións, non recomendo propoñelo dese xeito
  •  A figura amosa dous círculos de radio 1 e 2, respectivamente. A área de cada área gris é a. A área do círculo branco é b. Canto vale $\small{\frac{a}{b}}$?
É sinxelo, mais colleume de improviso
  • Un guindastre ten un pé triangular plano. A figura amosa o pé visto desde arriba. O pé pode rotar libremente arredor un eixe vertical montado no punto indicado. A rexión do firme que pode cubrir o pé e pintada de amarelo. Cal é a área desa rexión amarela?
    Gústame porque imaxino a inseguridade que teñen que afrontar os alumnos
Nesa primeira rolda hai moitos máis problemas interesantes, algúns máis axeitados para 3º-4º de ESO. Mais o que me chamou realmente a atención foi este da 2ª rolda:

  • A figura amosa un arco l na circunferencia unidade e dúas rexións A e B. Demostrar que a suma das áreas A e B coincide coa lonxitude do arco l.


 
Deixei abertas varias características no applet, como arrastrar obxectos, pois dependendo
da pantalla pode que non se vexa todo.


Unha pista: hai solución elementar, deixade por hoxe as integrais. Aínda que, por sorte, os arcos da circunferencia unidade non se calculan con integrais de arco...